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求函数f（x）=x+1x的增减性，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

求函数f（x）=x+

1

x

的增减性，并证明．

试题解答

见解析

解：由题意得：x≠0，
∴函数f（x）的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）；
∵f¹（x）=1-

1

x²

，令1-

1

x²

=0，解得x=±1
当x变化时，f¹（x），f（x）的变化情况如下：
在（-∞，-1）∪（1，+∞）上，f¹（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在（-1，0）∪（0，1）上，f¹（x）＜0，函数f（x）是减函数；
选择证明函数f（x）=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有f（x1）-f（x2）=（x1+

1

x₁

）-（x2+

1

x₂

）=

(x₁-x₂)(x₁x₂-1)

x₁x₂

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f（x）=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．其它区间同理可证．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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