已知函数f（x）=x+1x的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求f（x）在（-∞，1）上的单调性并画出函数的图象．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=x+

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求f（x）在（-∞，1）上的单调性并画出函数的图象．

见解析

解：设x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

x₁

）-（x₂+

x₂

）
=（x₁-x₂）（1-

x₁x₂

）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
①当0＜x₁＜x₂＜1时，0＜x₁x₂＜1，1-

x₁x₂

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（0，1）上是减函数；
②当-1＜x₁＜x₂＜0时，0＜x₁x₂＜1，1-

x₁x₂

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（-1，0）上是减函数；
③当x₁＜x₂＜-1时，x₁x₂＞1，1-

x₁x₂

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（0，1）上是增函数．
∴函数f（x）在区间（-∞，1）上的单调性是：在（-∞，-1）上是增函数；
在（-1，0）和（0，1）上都是减函数；
∵f（x）=x+

的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=-x+

-x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
且函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上递增，在（-1，0），（0，1）上递减
故图象如图所示：

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