已知函数f（x）=2x-12x．（1）若f（x）=2+22x，求x的值；（2）判断f（x）的单调性，并证明；（3）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=2^x-

2^x

．
（1）若f（x）=2+

2^x

，求x的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

解：（1）∵f（x）=2^x-

2^x

=2+

2^x

，∴2^2x-2?2^x-3=0，解得 2^x=3，或 2^x=-1 （舍去），
故 x=log₂3．
（2）函数f（x）的定义域为R，任意取x₂＞x₁，则 f（x₂）-f（x₁）=2^x₂-

2^x₂

-（2^x₁-

2^x₁

）=（2^x₂-2^x₁）（1+

2^x₂?2^x₁

）．
由题设可得，（2^x₂-2^x₁）＞0，（1+

2^x₂?2^x₁

）＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在R上是增函数．
（3）当t∈[1，2]，2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，即2^t（2^2t-

2^2t

）+m（2^t-

2^t

）≥0．
由于2^t-

2^t

＞0，∴2^t（2^t+

2^t

）+m≥0，故 m≥-（4^t+1）．
由于-（4^t+1）的最大值为-5，故有m≥-5，即m的范围是[-5，+∞）．

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