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  • 在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1-2t，2+t）、R（-2t，2），其中t∈（0，+∞）．（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）；（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1-2t，2+t）、R（-2t，2），
      其中t∈（0，+∞）．
      （1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）；
      （2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当1-2t＞0即0＜t＜
      1
      2
      时，0＜t＜
      1
      2
      时，点Q在第一象限，如图（1），
      直线RQ的方程为y=t（x+2t）+2，它与y轴的交点T（0，2+2t      2），
      故△ORT的面积S=
      1
      2
      ×2t×（2+2t2）=2t×（1+t2）
      可得矩形在第一象限内的部分面积为S（t）=2+2t      2-2t×（1+t2）=2[1-t×（1+t+t2）]
      当-2t+1≤0，即t≥
      1
      2
      时，如图（2），点Q在y轴上或第二象限，S（t）为△OPT的面积，
      直线PQ的方程为y=-
      x
      t
      +t+
      1
      t
      ，
      令x=0得y=t+
      1
      t
      ，故点T的坐标为（0，t+
      1
      t
      ），
      故S（t）=S      △OPT=
      1
      2
      ×(t+
      1
      t
      ) ×1=
      1
      2
      ×(t+
      1
      t
      )
      综上知S（t）=
      {
      2[1-t×(1+t+t 2)] 0＜t＜
      1
      2
      1
      2
      ×(t+
      1
      t
      ) t≥
      1
      2


      （2）S（t）在区间（0，
      1
      2
      ）与（
      1
      2
      ，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，证明如下
      下用导数法证明：
      由于S'（t）=
      {
      -2-4t-6t2 0＜t＜
      1
      2
      1
      2
      (1-
      1
      t2
      ) t≥
      1
      2

      验证知当在区间（0，
      1
      2
      ）与（
      1
      2
      ，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0
      故得S（t）在区间（0，
      1
      2
      ）与（
      1
      2
      ，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数
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