函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，已知0≤x＜4．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）记函数g（x）=x-f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；（Ⅲ）若方程g（x）-loga（x-12）=0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）记函数g（x）=x-f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；
（Ⅲ）若方程g（x）-log_a（x-

）=0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）由题意，
①当0≤x＜1时，f（x）=[x]=0；②当1≤x＜2时，f（x）=[x]=1；
③当2≤x＜3时，f（x）=[x]=2；④当3≤x＜4时，f（x）=[x]=3；
所以f（x）=

{	0，0≤x＜1 1，1≤x＜2 2，2≤x＜3 3，3≤x＜4

．
（Ⅱ） g（x）=x-f（x）=

{	x，0≤x＜1 x-1，1≤x＜2 x-2，2≤x＜3 x-3，3≤x＜4

，图象如图所示：

（Ⅲ）方程g（x）-log_a(x-

)=0仅有一根等价于g（x）与h（x）=log_a(x-

) 图象仅有一个交点，
由图象可知0＜a＜1 时，h（1）=log_a

≥1=log_aa，解得

≤a＜1；
a＞1时，h（2）=log_a

≥1=log_aa或

{

h(3)=log_a

＜1

h(4)=log_a

≥1

，解得1＜a≤

或

＜a≤

．
综上，a的范围是[

，1）∪（1，

]∪（

，

]．

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