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  • 提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP=12AD时（如图②）：∵AP=12AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=12S△ABD．∵PD=AD-AP=12AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=12S△CDA．∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP=S四边形ABCD-12S△ABD-12S△CDA=S四边形ABCD-12（S四边形ABCD-S△DBC）-12（S四边形ABCD-S△ABC）=12S△DBC+12S△ABC．（2）当AP=13AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP=16AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ?；（4）一般地，当AP=1nAD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP=mnAD（0≤mn≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ?．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
      探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
      （1）当AP=
      1
      2
      AD时（如图②）：

      ∵AP=
      1
      2
      AD，△ABP和△ABD的高相等，
      ∴S      △ABP=
      1
      2
      S△ABD．
      ∵PD=AD-AP=
      1
      2
      AD，△CDP和△CDA的高相等，
      ∴S      △CDP=
      1
      2
      S△CDA．
      ∴S      △PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
      =S      四边形ABCD-
      1
      2
      S△ABD-
      1
      2
      S△CDA
      =S      四边形ABCD-
      1
      2
      （S四边形ABCD-S△DBC）-
      1
      2
      （S四边形ABCD-S△ABC）
      =
      1
      2
      S△DBC+
      1
      2
      S△ABC．
      （2）当AP=
      1
      3
      AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
      （3）当AP=
      1
      6
      AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：         ?；
      （4）一般地，当AP=
      1
      n
      AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
      问题解决：当AP=
      m
      n
      AD（0≤
      m
      n
      ≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：         ?．

      试题解答

      S△PBC=
      1
      6
      S△DBC+
      5
      6
      S△ABC:S△PBC=
      m
      n
      S△DBC+
      n-m
      n
      S△ABC．
      解：（2）∵AP=
      1
      3
      AD，△ABP和△ABD的高相等，
      ∴S      △ABP=
      1
      3
      S△ABD．
      又∵PD=AD-AP=
      2
      3
      AD，△CDP和△CDA的高相等，
      ∴S      △CDP=
      2
      3
      S△CDA．
      ∴S      △PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
      =S      四边形ABCD-
      1
      3
      S△ABD-
      2
      3
      S△CDA
      =S      四边形ABCD-
      1
      3
      （S四边形ABCD-S△DBC）-
      2
      3
      （S四边形ABCD-S△ABC）
      =
      1
      3
      S△DBC+
      2
      3
      S△ABC．
      ∴S      △PBC=
      1
      3
      S△DBC+
      2
      3
      S△ABC

      （3）S      △PBC=
      1
      6
      S△DBC+
      5
      6
      S△ABC；

      （4）S      △PBC=
      1
      n
      S△DBC+
      n-1
      n
      S△ABC；
      ∵AP=
      1
      n
      AD，△ABP和△ABD的高相等，
      ∴S      △ABP=
      1
      n
      S△ABD．
      又∵PD=AD-AP=
      n-1
      n
      AD，△CDP和△CDA的高相等，
      ∴S      △CDP=
      n-1
      n
      S△CDA
      ∴S      △PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
      =S      四边形ABCD-
      1
      n
      S△ABD-
      n-1
      n
      S△CDA
      =S      四边形ABCD-
      1
      n
      （S四边形ABCD-S△DBC）-
      n-1
      n
      （S四边形ABCD-S△ABC）
      =
      1
      n
      S△DBC+
      n-1
      n
      S△ABC．
      ∴S      △PBC=
      1
      n
      S△DBC+
      n-1
      n
      S△ABC
      问题解决：S      △PBC=
      m
      n
      S△DBC+
      n-m
      n
      S△ABC．
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