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  • 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．点P从点B以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点C以2cm/s的速度向点A运动，两点同时出发，运动的时间为t秒（0≤t≤5）．过点Q作直线QD∥BC，交AB于点D，连接PD、PQ．（1）用含有t的代数式表示DQ的长；（2）是否存在某一时刻t，使得△DPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以线段PC为直径作⊙O．①在运动过程中，求当动点Q在⊙O内部时t的取值范围；②连接OD，交线段PQ于点E，求点E恰好落在⊙O上时t的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．点P从点B以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点C以2cm/s的速度向点A运动，两点同时出发，运动的时间为t秒（0≤t≤5）．过点Q作直线QD∥BC，交AB于点D，连接PD、PQ．
      （1）用含有t的代数式表示DQ的长；
      （2）是否存在某一时刻t，使得△DPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
      （3）以线段PC为直径作⊙O．
      ①在运动过程中，求当动点Q在⊙O内部时t的取值范围；
      ②连接OD，交线段PQ于点E，求点E恰好落在⊙O上时t的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当运动t秒时，QC=2t
      在Rt△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，
      由勾股定理得：AC      2=82+62
      解得AC=10cm
      ∴AQ=10-2t
      ∵QD∥BC
      ∴△ADQ∽△ABC
      ∴
      DQ
      BC
      =
      AQ
      AC

      ∴
      DQ
      6
      =
      10-2t
      10

      ∴DQ=
      30-6t
      5
      ；

      （2）作QE⊥BC于E
      可得△CQE∽△CAB
      ∴
      QE
      AB
      =
      CQ
      AC

      ∴
      QE
      8
      =
      2t
      10

      ∴QE=
      8
      5
      t
      ∴DB=
      8t
      5

      ∵△DPQ为直角三角形即，∠DPQ=90°或∠DQP=90°，
      当∠DPQ=90°时，
      ∴∠PDQ+PQD=90°
      ∵∠PDB+∠PDQ=90°
      ∴∠PQD=∠PDB
      ∴△PDB∽△DQP
      ∴
      BP
      DP
      =
      DP
      DQ

      ∴
      t
      DP
      =
      DP
      30-6t
      5

      ∴DP      2=
      30t-6t2
      5

      在Rt△BPD中，由勾股定理得
      BP      2+BD2=DP2
      ∴
      30t-6t2
      5
      =(
      8t
      5
      )2+t2
      解得：t      1=
      150
      119
      ，t2=0（舍去）；
      当∠DQP=90°时，P与E重合，
      设运动的时间是t，则BE=t，CE=6-t，
      CQ=2t，
      ∵△CQE∽△CAB，
      ∴
      2t
      10
      =
      6-t
      6
      ，解得：t=
      30
      11
      ，
      综上，t=
      150
      119
      或
      30
      11
      ；


      （3）①当运动t秒后⊙O与AC相交于Q点，
      ∴∠PQC=90°
      ∴△PQC∽△ABC
      ∴
      PQ
      AB
      =
      QC
      BC

      ∴
      PQ
      8
      =
      2t
      6

      ∴PQ=
      8t
      3
      由勾股定理得；
      (
      8t
      3
      )2+(2t)2=(6-t)2
      ∴t1=-
      18
      7
      (不符合题意)，t2=
      18
      13

      ∴当0＜t＜
      18
      13
      时，点Q在⊙O内部．

      ②当线段DO交PQ于点E且点E恰好落在⊙O上时．
      △DQE∽△OPE
      ∴
      PO
      DQ
      =
      OE
      DE

      ∴
      6-t
      2
      DE
      =
      6-t
      2
      30-6t
      5

      ∴DE=
      30-6t
      5

      ∴DO=
      90-17t
      10

      在Rt△BOD中，由勾股定理得：
      BD      2+BO2=DO2
      ∴      (
      8t
      5
      )2+ (
      6+t
      2
      )2=(
      90-17t
      10
      )2
      解得：t1=210+120
      √3
      (不符合题意)，t2=210-120
      √3
      ．
      ∴当线段DO交PQ于点E且点E恰好落在⊙O上时，t=210-120
      √3
      ．
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