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  • 如图①，在平面直角坐标系中，点A从点（1，0）出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，在运动过程中，以OA为一边作菱形OABC，使B、C在第一象限，且∠AOC=60°，连接AC、OB；同时点M从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿对角线OB向点B运动，若以点M为圆心，MA的长为半径画圆，设运动时间为t秒．（1）当t=1时，判断点O与⊙M的位置关系，并说明理由．（2）当⊙M与OC边相切时，求t的值．（3）随着t的变化，⊙M和菱形OABC四边的公共点个数也在变化，请直接写出公共点个数与t的大小之间的对应关系．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图①，在平面直角坐标系中，点A从点（1，0）出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，在运动过程中，以OA为一边作菱形OABC，使B、C在第一象限，且∠AOC=60°，连接AC、OB；同时点M从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿对角线OB向点B运动，若以点M为圆心，MA的长为半径画圆，设运动时间为t秒．
      （1）当t=1时，判断点O与⊙M的位置关系，并说明理由．
      （2）当⊙M与OC边相切时，求t的值．
      （3）随着t的变化，⊙M和菱形OABC四边的公共点个数也在变化，请直接写出公共点个数与t的大小之间的对应关系．

      试题解答

      见解析
      （1）如图①，
      ∵t=1，M点的运动速度为每秒      个单位，A点的运动速度为每秒1个单位，
      ∴OM=      ，OA=1+1=2，若⊙M与OC相切，设切点为H点，
      ∴OH⊥MH，
      ∵菱形ABCO，∠AOC=60°，
      ∴OA=OC=AB=BC=2，∠COH=∠AOH=∠ABO=∠CBO=30°，
      ∴HC=HA=1，HO=HB=      ，AC⊥OB，
      ∴OH=      ，即M与H重合，
      ∴HA=MH=1，
      ∵1＜      ，
      ∴MH＜OM，
      ∴点O在⊙M外，


      （2）如图②，连接MC，MA，
      ∵菱形AOCB，
      ∴在△COM和△AOM中，

      ∴△COM≌△AOM（SAS），
      ∴MA=MC，
      即⊙M过C点，
      若⊙M与OC相切，设切点为H点，连接MH，
      ∴OH⊥MH，
      ∵OC与⊙M的公共点只有一个，
      ∴H点与C点重合，MC⊥OC，
      ∵M点的运动速度为每秒      个单位，A点的运动速度为每秒1个单位，
      ∴OM=      t，OA=1+t，
      ∵∠COM=30°，
      ∴CO=      ，
      ∵OA=OC，
      ∴      =1+t，
      ∴t=2．


      （3）①当t=      时，
      ∴OM=      ，OA=，
      ∵∠BOA=30°，AC垂直平分OB，
      ∴AH=      ，OH=，∠OAB=120°，
      ∴AM=      ，
      ∴AM=OM，
      ∴∠OAM=30°，
      ∴∠MAB=90°，
      同理∠MCB=90°，
      ∵△COM≌△AOM，
      ∴AM=CM，
      ∴⊙M与OC、OA相切，
      ∴⊙M经过菱形OABC的顶点O，C，A三点，
      当t=2时，
      ∵OM=2      ，OA=3，
      ∴OH=      ，AH=，
      ∴OB=3      ，
      ∴MB=      ，
      ∴HM=      ，
      ∴AM=      ，
      ∴∠OAM=90°，
      同理∠OCM=90°，
      ∵MB=MA=MA，
      ∴⊙M与BC、BA相切于点C、点A，
      ∴⊙M经过点B、C、A三点；
      ∴当t=2或者t=      时，⊙M与菱形由三个交点；
      ②当t=0时，
      ∴M点和O点重合，MA=OB，
      ∵MA=MA，
      ∴⊙M经过A，C两点，
      当0＜t＜      时，
      ∵OM＜AM，
      ∴⊙M经过A，C两点，点O在⊙M内，
      当t＞2时，
      则OM＞2AM，
      ∴BM＜AM，
      ∴⊙M经过A，C两点，点B在⊙M内，
      ∴当0≤t＜      时，⊙M与菱形的交点又2个；
      ③当      ＜t，
      则OM＞AM，
      当t＜2时，
      则OM＜2AM，BM＞AM，
      ∵AB=OA，M在OB上运用，
      ∴OA＞AM，AB＞AM，且OC＞AM，BC＞AM，
      ∴⊙M经过A，C点且与OC，OA，OB，BD都有交点，
      ∴当      ＜t＜2时，⊙M与菱形的交点个数为6个．
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