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  • 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 ．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四???顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
      （1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段       ．
      （2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四???顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
      （3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=      ，求BC的长．

      试题解答

      见解析
      （1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；

      （2）作图如图：

      ∵点P为AC中点，
      ∴PA=PC=      AC．
      ∵∠ABC=∠ADC=90°，
      ∴BP=DP=      AC，
      ∴PA=PB=PC=PD，
      ∴点A、B、C、D在以P为圆心，      AC为半径的同一个圆上；

      （3）∵菱形ACEF，
      ∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，
      ∴四边形ABCD为损矩形，
      ∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
      ∵BD平分∠ABC，
      ∴∠ABD=∠CBD=45°，
      ∴      ，
      ∴AD=CD，
      ∴四边形ACEF为正方形．
      ∵BD平分∠ABC，BD=      ，
      ∴点D到AB、BC的距离h为4，
      ∴S      △ABD=AB×h=2AB=6，
      S      △ABC=AB×BC=BC，
      S      △BDC=BC×h=2BC，S△ACD=S正方形ACEF=AC2=（BC2+9），
      ∵S      四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD
      ∴      BC+（BC2+9）=6+2BC
      ∴BC=5或BC=-3（舍去），
      ∴BC=5．
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