已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（ax-bx）．（1）求y=f（x）的定义域；（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（a^x-b^x）．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．

试题解答

见解析

解：（1）要使函数f（x）=lg（a^x-b^x）有意义，则需要a^x-b^x＞0，（*）
∵常数a、b满足a＞1＞b＞0，∴

＞1，∴（*）化为(

)^x＞1，∴x＞0．
∴y=f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）?x₂＞x₁＞0，则f（x₂）-f（x₁）=lg(a^x₂-b^x₂)-lg(a^x₁-b^x₁)=lg

a^x₂-b^x₂

a^x₁-b^x₁

．
∵x₂＞x₁＞0，a＞1＞b＞0，∴a^x₂-a^x₁＞0，b^x₁-b^x₂＞0．
∴a^x₂-b^x₂-(a^x₁-b^x₁)=(a^x₂-a^x₁)+b^x₁-b^x₂＞0，
又a^x₁＞b^x₁，
∴

a^x₂-b^x2

a^x₁-b^x₁

＞1，
∴lg

a^x₂-b^x₂

a^x₁-b^x₁

＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
∴y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，且f（x）恰在（1，+∞）内取正值，
∴f（1）=0，即lg（a-b）=0，化为a-b=1．
∵f（2）=lg2，∴lg（a²-b²）=lg2，化为a²-b²=2，
联立

{	a-b=1 a²-b²=2

，解得

{	a=1.5 b=0.5

．
∴a=1.5，b=0.5．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（ax-bx）．（1）求y=f（x）的定义域；（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．试题及答案-单选题-云返教育

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