已知函数f（x）=a?2x-2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）≤f（2a-x）的x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

a?2^x-2+a

2^x+1

（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）≤f（2a-x）的x的取值范围．

见解析

解：（1）函数f（x）在R上单调递增．
证明：∵f（x）=

a?2^x-2+a

2^x+1

a(2^x+1)-2

2^x+1

=a-

2^x+1

，
∴在定义域上任意设两个实数x₁，x₂，设x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=a-

2^x₁+1

-(a-

2^x₂+1

2^x₁+1

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2^x₁-2^x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）的定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=

2a-2

=a-1=0，解得a=1，经检验符合．
∴f（x）=

2^x-1

2^x+1

．
①∵f（x）在R上是增函数．
∴f（x）在[-1，1]上???增函数．
∴当x=-1时，函数f（x）取得最小值f（-1）=-

．
当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=

．
∴-

≤f（x）≤

．，即函数f（x）的值域是[-

，

]．
②∵a=1，∴不等式f（ax）≤f（2a-x）等价为f（x）≤f（2-x），
∵f（x）在R上是增函数．
∴x＜2-x，解x＜1，
∴x的取值范围是（-∞，1）．

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