已知函数f（x）=4x-a?2x+1+9，x∈[0，2]，（1）当a=4，证明：函数y=f（x）是[0，2]上的单调递减函数；（2）若函数y=f（x）是[0，2]上的单调函数，求a取值范围；（3）若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，求a取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=4^x-a?2^x+1+9，x∈[0，2]，
（1）当a=4，证明：函数y=f（x）是[0，2]上的单调递减函数；
（2）若函数y=f（x）是[0，2]上的单调函数，求a取值范围；
（3）若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，求a取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）a=4时，f（x）=4^x-4?2^x+1+9=4^x-8?2^x+9，x∈[0，2]，
设t=2^x，得t∈[1，4]，
f（x）=g（t）=t²-8t+9=（t-4）²-7
∵t=2^x在区间[0，2]上是增函数，且g（t）=（t-4）²-7在区间[1，4]上是减函数，
∴f（x）=4^x-4?2^x+1+9在区间[0，2]上是单调递减函数；
（2）令t=2^x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t²-2at+9，
∵t=2^x在[0，2]上是增函数，且g（t）=t²-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是单调函数
∴区间[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集
由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得
①当a≤1时，f（x）在区间[0，2]上是增函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5
综合可得：a≤1；
②当a≥4时，f（x）在区间[0，2]上是减函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤

综合可得找不出实数a的取值；
③当1＜a＜4时，f（x）在区间[0，2]上先减后增，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log₂a）≥0，解之得-3≤a≤3
综合可得：1＜a≤3
综上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，实数a的取值范围为（-∞，3]．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题