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  • 已知函数f（x）=1a-1x（a＞0，x＞0）．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      1
      a
      -
      1
      x
      （a＞0，x＞0）．
      （1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
      （2）若f（x）在[
      1
      2
      ，2]上的值域是[
      1
      2
      ，2]，求a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
      设x      1＞x2＞0，f(x1)-f(x2)=(
      1
      a
      -
      1
      x1
      )-(
      1
      a
      -
      1
      x2
      )=
      1
      x2
      -
      1
      x1
      =
      x1-x2
      x1?x2

      因为x      1＞x2＞0，所以x1-x2＞0，x1?x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，
      所以f（x      1）＞f（x2），因此函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
      （2）由（1）知函数f（x）在[
      1
      2
      ，2]上单调递增，并且f（x）在[
      1
      2
      ，2]上的值域是[
      1
      2
      ，2]，
      所以
      {
      f(
      1
      2
      )=
      1
      a
      -2=
      1
      2
      f(2)=
      1
      a
      -
      1
      2
      =2
      ，所以a=
      2
      5
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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