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  • 已知f(x)=lgb-ax210x+1，函数y=f（x）与函数y=g（x）满足如下对应关系：当点（x，y）在y=f（x）的图象上时，点(x3，y2)在y=g（x）的图象上，且f（0）=0，g（-1）=1．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）指出函数y=g（x）的单调递增区间，并用单调性定义证明之．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=lg
      b-ax2
      10x+1
      ，函数y=f（x）与函数y=g（x）满足如下对应关系：当点（x，y）在y=f（x）的图象上时，点(
      x
      3
      ，
      y
      2
      )在y=g（x）的图象上，且f（0）=0，g（-1）=1．
      （1）求函数y=g（x）的解析式；
      （2）指出函数y=g（x）的单调递增区间，并用单调性定义证明之．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得
      {
      f(0)=lg
      b
      10
      =0
      f(-3)=lg
      b-9a
      10-2
      =2
      ，解得
      {
      a=1
      b=10
      ，
      故f(x)=lg
      b-ax2
      10x+1
      =lg
      10-x2
      10x+1
      ，x∈（-
      √10
      ，
      √10
      ）
      故必有2y=lg
      10-9x2
      103x+1
      ，即y=
      1
      2
      lg
      10-9x2
      103x+1
      ，
      故函数y=g（x）的解析式为：g（x）=
      1
      2
      lg
      10-9x2
      103x+1
      ；
      （2）由（1）可知，函数y=g（x）的单调递增区间为（-
      √10
      3
      ，0），
      任取x      1，x2∈（-
      √10
      3
      ，0），且x1＜x2，
      由复合函数的单调性可知，只需证明函数m（x）=10-9x      2在区间（-
      √10
      3
      ，0）上单调递增，
      则有m（x      1）-m（x2）=（10-9x12）-（10-9x22）
      =9（x      2+x1）（x2-x1），
      ∵x      1，x2∈（-
      √10
      3
      ，0），且x1＜x2，
      ∴x      2+x1＜0，x2-x1＞0，∴9（x2+x1）（x2-x1）＜0，
      故m（x      1）＜m（x2），
      故函数y=g（x）的单调递增区间为（-
      √10
      3
      ，0），
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