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  • 已知函数f（x）=ax+bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=52，f（2）=174．（1）求a、b、c的值；（2）试讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）试求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax+
      b
      x
      +c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=
      5
      2
      ，f（2）=
      17
      4
      ．
      （1）求a、b、c的值；
      （2）试讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
      （3）试求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
      ∴f（-x）+f（x）=0，即-ax-
      b
      x
      +c+ax+
      b
      x
      +c=0，得c=0．
      ∵f（1）=
      5
      2
      ，f（2）=
      17
      4
      ，
      ∴a+b=
      5
      2
      且2a+
      b
      2
      =
      17
      4
      ，解得a=2，b=
      1
      2
      ．
      ∴a=2，b=
      1
      2
      ，c=0．
      （2）由（1）知，f（x）=2x+
      1
      2x
      ，
      ∴f′（x）=2-
      1
      2x2
      =
      (2x+1)(2x-1)
      2x 2
      ．
      ∵当x∈（0，
      1
      2
      ）时，f′（x）＜0，当x＞
      1
      2
      时，f′（x）＞0，
      ∴函数f（x）在（0，
      1
      2
      ）上为减函数，在（
      1
      2
      ，+∞）上为增函数．
      （3）∵函数f（x）在（0，
      1
      2
      ）上为减函数，在（
      1
      2
      ，+∞）上为增函数
      ∴x=
      1
      2
      是函数的极小值点，且f（
      1
      2
      ）是函数的极小值也是最小值
      由此可得，函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（
      1
      2
      ）=2．
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