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已知函数f(x)=xx-1．（Ⅰ）求f（1+x）+f（1-x）的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

x

x-1

．
（Ⅰ）求f（1+x）+f（1-x）的值；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

x-1

，x≠1；
∴f(1+x)+f(1-x)=

1+x

1+x-1

+

1-x

1-x-1

=

1+x

x

-

1-x

x

=2；
（Ⅱ）证明：设x₁，x₂是（1，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
∴f(x₂)-f(x₁)=

x₂

x₂-1

-

x₁

x₁-1

=

x₂(x₁-1)-x₁(x₂-1)

(x₁-1)(x₂-1)

=

x₁-x₂

(x₁-1)(x₂-1)

；
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁-x₂＜0；
∴

x₁-x₂

(x₁-1)(x₂-1)

＜0；
即f（x₂）＜f（x₁）；
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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