已知函数f（x）=aa2-1(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的实数m的取值集合；（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

a²-1

(a^x-a^-x)，其中a＞0，a≠1
（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；
（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值集合；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围．

见解析

解：（1）由于函数f（x）=

a²-1

(a^x-a^-x)，其中a＞0，a≠1，它的定义域为R，
再根据f（-x）=

a²-1

?（a^-x-a^x）=-

a²-1

(a^x-a^-x)=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
当a＞1时，

a²-1

＞0，且函数a^x-a^-x为增函数，故此时函数f（x）为增函数．
当 0＜a＜1时，

a²-1

＞0，且函数a^x-a^-x为减函数，故此时函数f（x）为增函数．
（2）由于函数y=f（x）的定义域为（-1，1），故由不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，
可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴

{	-1＜1-m＜1 -1＜1-m²＜1 1-m＜m²-1

，解得 1＜m＜

√2

．
（3）由于函数f（x）在（-∞，2）上单调递增，要使f（x）-4的值恒为负，
只要f（2）-4≤0，即

a²-1

（a²-a^-2）-4≤0，即

a²+1

≤4．
解得 2-

√3

≤a≤2+

√3

，且a≠1，即a的范围[2-

√3

，1）、（1，2+

√3

]．

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