函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭???数，现有f（x）=√x+2+k是闭函数，那么k的取值范围是．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭???数，现有f（x）=

√x+2

+k是闭函数，那么k的取值范围是．

（-

，a]

解：函数f（x）=

√x+2

+k 的定义域为[-2，+∞），且在定义域内是增函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，
∴

√a+2

+k=a，且

√b+2

+k=b，∴a+2=（a-k）²，且 b+2=（b-k）²，且k???a，k≤b．
即

{	a²-(2k+1)a+k²-2 = 0 b²-(2k+1)b+k²-2 = 0

，故 a和 b 是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0在[-2，+∞）上的两个根．
令 g（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
则有

{

△ =(2k+1)²-4(k²-2)＞0

对称轴x =

2k+1

＞ -2

g(-2) =(k+2) ²≥ 0

k≤a

，解得 a≥k＞-

，那么k的取值范围是（-

，a]，
故答案为：（-

，a]．

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