已知f(x)=2x4x+1，x∈（0，1）；（Ⅰ）试判断并证明f（x）的单调性；（Ⅱ）若方程f（x）+f（-x）=λ有实数根，求λ的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f(x)=

2^x

4^x+1

，x∈（0，1）；
（Ⅰ）试判断并证明f（x）的单调性；
（Ⅱ）若方程f（x）+f（-x）=λ有实数根，求λ的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）f（x）是定义域上的减函数，证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x

₁

)-f(x

₂

2^x₁

4^x₂+1

2^x₂

4^x₂+1

2^x₁(4^x₂+1)-2^x₂(4^x₁+1)

(4^x₂+1)(4^x₂+1)

(2^x₁+x₂-1)(2^x₂-2^x₁)

(4^x₂+1)(4^x₂+1)

；
∵2^x₁+x₂＞1，2^x₂＜2^x₁∴f(x₁)＜f(x₂)；
∴f（x）是减函数．
（Ⅱ）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，
∴f（1）＜f（x）＜f（0），
即

＜f(x)＜

；
∵f（-x）=

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

=f(x)，
∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），
∴即当x∈（0，1）时，

＜λ＜1；
∴λ的取值范围是{λ|

＜λ＜1}．

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