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  • 证明：函数f（x）=√x-1x在（0，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      证明：函数f（x）=
      √x
      -
      1
      x
      在（0，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：①方法1：（定义法）
      设x      1，x2是定义域（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=
      √x1
      -
      1
      x1
      -
      √x2
      +
      1
      x2
      =(
      √x1
      -
      √x2
      )+
      x1-x2
      x1x2

      =
      x1-x2
      √x1
      +
      √x2
      +
      x1-x2
      x1x2
      =(x1-x2)(
      1
      √x1
      +
      √x2
      +
      1
      x1x2
      )，
      ∵0＜x      1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，
      1
      √x1
      +
      √x2
      +
      1
      x1x2
      ＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）=
      √x
      -
      1
      x
      在（0，+∞）上是增函数．
      ②方法2：（导数法）
      函数f（x）=
      √x
      -
      1
      x
      的导数为f′(x)=
      1
      2
      √x
      +
      1
      x2
      ，
      ∵x＞0，
      ∴f′(x)=
      1
      2
      √x
      +
      1
      x2
      ＞0，
      即函数f（x）=
      √x
      -
      1
      x
      在（0，+∞）上是增函数．
      ③法3：（函数性质法）
      ∵函数y=
      √x
      在（0，+∞）上是增函数，y=-
      1
      x
      在（0，+∞）上是增函数，
      ∴函数f（x）=
      √x
      -
      1
      x
      =
      √x
      +（-
      1
      x
      ）在（0，+∞）上也是增函数．
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