已知函数f(x)=1+2x-1，g(x)=f（2x）（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=1+

x-1

，g(x)=f（2^x）
（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

试题解答

见解析

解：（1）g(x)=f(2^x)=1+

2^x-1

，
∵2^x-1≠0?x≠0，∴函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，
设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
则g(x₁)-g(x₂)=

2^x₁-1

2^x₂-1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴2^x₂＞2^x₁且2^x₁＜1，2^x₂＜1?g(x₁)-g(x₂)＞0，即g(x₁)＞g(x₂)，
根据函数单调性的定义知：函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）由（1）知函数g（x）在（-∞，0）上为减函数，
∴函数g（x）在（-∞，-1]上为减函数，
∴当x=-1时，g(x)_min=g(-1)=1+

2^-1-1

=-3．

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已知函数f(x)=1+2x-1，g(x)=f（2x）（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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