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已知函数f(x)=lnx-ax2+x(a∈R)(1)求a的最大值,使函数f(x)在(0,+∞)内是单调函数.(2)若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤0,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=lnx-ax
2
+x(a∈R)
(1)求a的最大值,使函数f(x)在(0,+∞)内是单调函数.
(2)若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤0,求a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)求导函数可得f′(x)=
1
x
-2ax+1
令f′(x)=
1
x
-2ax+1≥0,
∵x>0,∴2a≤
1
x
2
+
1
x
=(
1
x
+
1
2
)
2
-
1
4
∵x>0,∴
1
x
2
+
1
x
≥0
∴2a≤0,∴a最大值为0
f′(x)=
1
x
-2ax+1≤0,即-2ax
2
+x+1≤0,函数在(0,+∞)内不是单调函数
综上,a最大值为0;
(2)由(1)知,a≤0,函数f(x)在(0,+∞)内是单调增函数,f(x)>0
∴a>0
构造函数
y
1
=lnx,y
2
=ax
2
-x
∵对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤0,
∴对于任意的x∈(0,+∞),总有y
1
<y
2
,即对于任意的x∈(0,+∞),y
1
=lnx在
y
2
=ax
2
-x的下方,
如图所示,
∴0<
1
a
≤1,
∴a≥1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
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第3章 指数函数和对数函数
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