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  • 已知奇函数 f（x）的定义域为实数集 R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对所有的θ∈[0，π2]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知奇函数 f（x）的定义域为实数集 R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，当0≤θ≤
      π
      2
      时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对所有的θ∈[0，
      π
      2
      ]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：∵f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，
      则f（x）在R上为增函数，且f（0）=0，
      所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）=f（2mcosθ-4m），
      ∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos      2θ-mcosθ+2m-2＞0．
      令t=cosθ，则原不等式可转化为：
      当t∈[0，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t      2-mt+2m-2＞0恒成立．
      由t      2-mt+2m-2＞0，t∈[0，1]，得m＞
      2-t2
      2-t
      =t-2+
      2
      t-2
      +4，t∈[0，1]时，
      令h（t）=（2-t）+
      2
      2-t
      ，即当且仅当t=2-
      √2
      时，h（t）取得最小值2
      √2
      ，
      故m＞（t-2+
      2
      t-2
      +4）max=4-2
      √2
      ．
      即存在这样的m，且m∈（4-2
      √2
      ，+∞）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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