函数f（x）对x＞0有意义，当m，n∈（0，+∞）时，恒有f（mn）=f（m）+f（n）成立，并且f（2）=1，当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：f（1）=0；（2）求f（4）的值；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（4）求满足f（x）+f（x-3x）＜2的x的集合．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

函数f（x）对x＞0有意义，当m，n∈（0，+∞）时，恒有f（mn）=f（m）+f（n）成立，并且f（2）=1，当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：f（1）=0；
（2）求f（4）的值；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（4）求满足f（x）+f（

x-3

）＜2的x的集合．

见解析

（1）证明：令m=n=1，则f（1）=2f（1），即有f（1）=0；
（2）解：令m=n=2，则f（4）=2f（2），而f（2）=1，则f（4）=2；
（3）证明：令0＜s＜t，则

＞1，由x＞1时，f（x）＞0，
则f（

）＞0，即有f（t）=f（s?

）=f（s）+f（

）＞f（s），
则f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（4）解：f（x）+f（

x-3

）＜2
即为f（x?

x-3

）＜2=f（4），
即为f（x-3）＜f（4），
由f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则

{	x＞0 x-3＞0 x-3＜4

，解得，3＜x＜7．
则解集为（3，7）．

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