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  • 已知f(log2x)=ax2-2x+1-a，a???R．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的值域；（3）设h（x）=2-xf（x），a＞0时，对任意x1，x2∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤a+12成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(log2x)=ax2-2x+1-a，a???R．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）求f（x）的值域；
      （3）设h（x）=2      -xf（x），a＞0时，对任意x1，x2∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
      a+1
      2
      成立，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令t=log2x，则x=2t，
      故f（t）=a（2      t）2-2?2t+1-a．
      ∴f（x）=a（2      x）2-2?2x+1-a，
      （2）再设m=2      x，则m＞0，y=am2-2m+1-a，
      ①当a=0时，y=-2m+1（m＞0），在（0，+∞）上是减函数，其值域为（-∞，1）；
      ②当a＞0时，y=am      2-2m+1-a的对称轴m=
      1
      a
      ＞0，
      故其在（0，
      1
      a
      ）上是减函数，在（
      1
      a
      ，+∞）上是增函数．其值域为（-
      1
      a
      +1-a，+∞）；
      ③当a＜0时，y=am      2-2m+1-a的对称轴m=
      1
      a
      ＜0，
      故其在（0，+∞）上是减函数．其值域为（-∞，1-a）；
      （3）∵h（x）=a?2      x+（1-a）2-x-2，
      ∴h′（x）=aln2?2      x-（1-a）lna?2-x，
      由h′（x）=aln2?2      x-（1-a）lna?2-x=0，得x0=
      1
      2
      log2
      1-a
      a
      （0＜a＜1）．
      由x      0=
      1
      2
      log2
      1-a
      a
      ＞1得0＜a＜
      1
      5
      ，由x0=
      1
      2
      log2
      1-a
      a
      ＜-1，得a＞
      4
      5
      ，
      ∵h（0）=-1，h（1）=
      3
      2
      （a-1），
      由f（1）＞f（0），得
      3
      2
      （a-1）＞-1，得a＞
      1
      3
      ．
      ①当0＜a≤
      1
      5
      时，h′（x）=aln2?2x-（1-a）lna?2-x＜0恒成立，函数h（x）在[-1，1]上是减函数，
      ∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（-1）=-
      3
      2
      a，最小值是h（1）=
      3
      2
      （a-1）．
      ∵对任意x      1，x2∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
      a+1
      2
      成立，
      ∴-
      3
      2
      a-
      3
      2
      （a-1）≤
      a+1
      2
      ，∴a≥2．不合，舍去．
      ②当
      1
      5
      ＜a≤
      1
      2
      时，函数h（x）在[-1，x0]上是减函数，在（x0，1]上是增函数
      ∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（-1）=-
      3
      2
      a，最小值是h（x0）=2
      √a(1-a)
      -2．
      ∵对任意x      1，x2∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
      a+1
      2
      成立，
      ∴-
      3
      2
      a-2
      √a(1-a)
      +2≤
      a+1
      2
      ，
      ∴
      1
      2
      ≥a≥
      3
      10
      ．
      ③当
      1
      2
      ＜a≤
      4
      5
      时，函数h（x）在[-1，x0]上是减函数，在（x0，1]上是增函数
      ∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（1）=
      3
      2
      （a-1），最小值是h（x0）=2
      √a(1-a)
      -2．
      ∵对任意x      1，x2∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
      a+1
      2
      成立，
      ∴
      3
      2
      （a-1）-2
      √a(1-a)
      +2≤
      a+1
      2
      ，
      ∴
      1
      2
      ＜a≤
      4
      5
      ．
      ④当a＞
      4
      5
      时，h′（x）=aln2?2x-（1-a）lna?2-x＞0恒成立，函数h（x）在[-1，1]上是增函数，
      ∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（1），最小值是h（-1）．
      ∵对任意x      1，x2∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
      a+1
      2
      成立，
      ∴
      3
      2
      （a-1）+
      3
      2
      a≤
      a+1
      2
      ，
      ∴a≤
      4
      5
      ．不合，舍去．
      综上所述，a的取值范围为[
      3
      10
      ，
      4
      5
      ]．
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