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已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=g(x)x.(1)求a、b的值;(2)当12≤x≤2时,求函数f(x)的值域;(3)若不等式f(2x)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数g(x)=ax
2
-2ax+1+b(a>0),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=
g(x)
x
.
(1)求a、b的值;
(2)当
1
2
≤x≤2时,求函数f(x)的值域;
(3)若不等式f(2
x
)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由于函数g(x)的对称轴为直线x=1,a>0,
所以g(x)在[2,3]上单调递增,
则
{
g(2)=1
g(3)=4
,即
{
4a-4a+1+b=1
9a-6a+1+b=4
,解得a=1,b=0;
(2)由(1)知,f(x)=x+
1
x
-2,f′(x)=1-
1
x
2
,
当x∈[
1
2
,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2]时,f′(x)>0,
所以f(x)在[
1
2
,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
当x=1时f(x)取得最小值,当x=
1
2
或x=2时f(x)取得最大值,
f(x)
min
=0,f(x)
max
=
1
2
???其值域为[0,
1
2
];
(3)因为x∈[-1,1],所以
2
x
∈[
1
2
,2],
f(2
x
)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,等价于f(x)
min
≥k在[
1
2
,2]上恒成立,
由(2)知,k≤0;
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
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正整数指数函数
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