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已知复数z1=log2(2x+1)+ki,z2=1-xi(其中x,k∈R),记z1z2的实部为f(x),若函数f(x)是关于x的偶函数,(1)求k的值;(2)求函数y=f(log2x)在x∈(0,a],a>0,a∈R上的最小值;(3)求证:对任意实数m,函数y=f(x)图象与直线y=12x+m的图象最多只有一个交点.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知复数z
1
=log
2
(2
x
+1)+ki,z
2
=1-xi(其中x,k∈R),记z
1
z
2
的实部为f(x),若函数f(x)是关于x的偶函数,
(1)求k的值;
(2)求函数y=f(log
2
x)在x∈(0,a],a>0,a∈R上的最小值;
(3)求证:对任意实数m,函数y=f(x)图象与直线y=
1
2
x+m的图象最多只有一个交点.
试题解答
见解析
解:(1)z
1
z
2
=(log
2
(2
x
+1)+ki)(1-xi);所以f(x)=log
2
(2
x
+1)+kx,
因为函数f(x)是关于x的偶函数所以f(-x)=log
2
(2
-x
+1)-kx=log
2
(2
x
+1)+kx=f(x),所以2kx=-x,所以k=-
1
2
(2)由(1)可知f(x)=log
2
(2
x
+1)-
1
2
x,
所以y=f(log
2
x)=log
2
(x+1)-
1
2
log
2
x=log
2
x+1
√
x
=
log
(
√
x
+
1
√
x
)
2
,
所以x∈(0,a],a>0,a∈R,
y
min
=
{
log
2
(
√
a
+
1
√
a
)(0<a≤1)
1(a>1)
(3)函数y=f(x)图象与直线y=
1
2
x+m的图象最多只有一个交点,
就是log
2
(2
x
+1)-
1
2
x=
1
2
x+m最多只有一个解,就是log
2
(2
x
+1)=x+m最多只有一个解,
因为函数log
2
(2
x
+1)是单调增函数,x+m也是单调增函数,
所以对任意实数m,函数y=f(x)图象与直线y=
1
2
x+m的图象最多只有一个交点.
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