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  • 在一条笔直的工艺流水线上有n个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x1，x2，…，xn，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．（Ⅰ）若n=3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（Ⅱ）若n=5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在一条笔直的工艺流水线上有n个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x1，x2，…，xn，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
      （Ⅰ）若n=3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
      （Ⅱ）若n=5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）．
      （Ⅰ）d（x）=|x-x      1|+|x-x2|+|x-x3|．（2分）
      当x＜x      1时，d（x）=x1+x2+x3-3x在区间（-∞，x1）上是减函数；
      当x＞x      3时，d（x）=3x-（x1+x2+x3）在区间（x3，+∞）上是增函数．（4分）
      所以，x必须位于区间[x      1，x3]内，此时d（x）=x3-x1+|x-x2|（*），
      当且仅当x=x      2时，（*）式取最小值，???d（x2）=x3-x1，即供应站的位置为x=x2．（7分）
      （Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）
      =3|x-x      1|+2|x-x2|+|x-x3|+2|x-x4|+2|x-x5|．（8分）
      类似于（Ⅰ）的讨论知，x      1≤x≤x5，且有d ( x )=
      {
      2x2+x3+2x4+2x5-3x1-4x x1≤x＜x2
      x3+2x4+2x5-3x1-2x2 x2≤x＜x3
      2x+2x4+2x5-3x1-2x2-x3 x3≤x＜x4
      6x+2x5-3x1-2x2-x3-2x4 x4≤x≤x5
      （11分）
      所以，函数d（x）在区间（x      1，x2）上是减函数，在区间（x3，x5）上是增函数，在区间[x2，x3]上是常数．故供应站位置位于区间[x2，x3]上任意一点时，均能使函数d（x）取得最小值，???最小值为x3+2x4+2x5-3x1-2x2，x2≤x≤x3．（13分）
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