已知函数f（x）=3x的定义域为R，满足f（a+2）=18，函数g（x）=λ3ax-4x的定义域为[0，1]．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）为减函数，求实数λ的取值范围；（3）若函数g（x）的最大值为12，求实数λ的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=3^x的定义域为R，满足f（a+2）=18，函数g（x）=λ3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）为减函数，求实数λ的取值范围；
（3）若函数g（x）的最大值为

，求实数λ的值．

试题解答

见解析

解：（1）由f（a+2）=18，得3^a+2=18，即3^a=2，所以a=log₃2（2分）
（2）把a=log₃2代入，解得：g（x）=λ?3^ax-4^x=λ?2^x-4^x，设0≤x₁＜x₂≤1，
∵g（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴g（x₂）-g（x₁）＜0在[0，1]上恒成立（6分）
即(2^x₂-2^x₁)(λ-2^x₂-2^x₁)＜0在[0，1]上恒成立，
即λ＜2^x₂+2^x₁恒成立（8分）
∵2^x₂+2^x₁＞2⁰+2⁰=2，
∴实数λ的取值范围是λ≤2（10分）
（3）设t=2^x，则t∈[1，2]，
则φ（t）=-t²+λt在t∈[1，2]上的最大值为

（11分）
∴φ（t）的对称轴t=

，分三种情况：
①当

＞2，即λ＞4时，由φ(2)=-4+2λ=

，
解得λ=

（舍去）（12分）
②当

＜1，即λ＜2时，由φ(1)=-1+λ=

，
解得λ=

（13分）
③当1≤

≤2，即2≤λ≤4时，由φ(

λ²

，
解得λ=±

√2

（均舍去）（15分）
综上知，实数λ的值为

（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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