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  • 设函数f（x）=-a√x2+1+x+a，x∈（0，1]，a∈R*．（1）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=-a
      √x2+1
      +x+a，x∈（0，1]，a∈R*．
      （1）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
      （2）求f（x）在（0，1]上的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当x∈（0，1]时，f'（x）=-a?
      x
      √x2+1
      +1，∵f'（x）在（0，1]上是增函数，∴f'（x）≥0在（0，1]上恒成立．即a≤
      √x2+1
      x
      =
      √1+
      1
      x2
      在(0，1]上恒立，而0＜x≤1时，
      √1+
      1
      x2
      ≥
      √2
      ，∴0＜a≤
      √2
      ．
      （2）由（1）知
      ①当0＜a≤
      √2
      时，f(x)在(0，1]上是增函数，∴[f（x）]max=f（1）=（-
      √2
      -1）a+1
      ②当a＞
      √2
      时，令f′(x)=0，x=
      √
      1
      a2-1
      ∈(0，1]，∴0＜x＜
      √
      1
      a2-1
      时f'（x）＞0
      √
      1
      a2-1
      ＜x≤1时f'（x）＜0，∴[f（x）]max=f（
      √
      1
      a2-1
      )=a-
      √a2-1

      综上知，当0＜a≤
      √2
      时，[f(x)]max=-(
      √2
      -1）a+1；当a＞
      √2
      时，[f(x)]max=a-
      √a2-1
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