已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：At={y|y=f(x)，点P(t，f(t))，Q(x，f(x))，|PQ|≤√2}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h（t）=Mt-mt．则：（1）若函数f（x）=x，则h（1）= ；（2）若函数f(x)=sinπ2x，则h（t）的最大值为．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：A_t={y|y=f(x)，点P(t，f(t))，Q(x，f(x))，|PQ|≤

√2

}．设M_t，m_t分别表示集合A_t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M_t-m_t．则：
（1）若函数f（x）=x，则h（1）= ；
（2）若函数f(x)=sin

x，则h（t）的最大值为．

试题解答

2:2

解：（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），

∵|PQ|≤

√2

，∴

√(x-t)²+(x-t)²

≤

√2

，
化简可得|x-t|≤1，-1≤x-t≤1，即 1-t≤x≤t+1，
即M_t=1+t，m_t=1-t，
∵h（t）=M_t-m_t，
∴h（1）=（1+1）-（1-1）=2．
（2）若函数f（x）=sin

x，此时，函数的最小正周期为

2π

=4，点P（t，sin

t），Q（x，sin

x），
如图所示：
当点P在A点时，点O在曲线OAB上，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
当点P在曲线上从A接近B时，h（t）逐渐增大，当点P在B点时，M_t=1，m_t=-1，h（t）=M_t-m_t=2．
当点P在曲线上从B接近C时，h（t）逐渐见减小，当点P在C点时，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
当点P在曲线上从C接近D时，h（t）逐渐增大，当点P在D点时，M_t=1，m_t=-1，h（t）=M_t-m_t=2．
当点P在曲线上从D接近E时，h（t）逐渐见减小，当点P在E点时，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
…依此类推，发现 h（t）的最小正周期为2，最大值为2．
故答案为：2，2．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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