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对勾函数f(x)=ax+bx,(a>0,b>0)是一种常见的基本初等函数,为了研究对勾函数f(x)=x+4x的一些性质,例如单调性,奇偶性,最值等性质.首先通过列表法,列举了函数f(x)=x+4x在(0,+∞)上部分自变量与函数值的对应值表,如下: x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 … y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 … 请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.(Ⅰ)函数f(x)=x+4x,(x>0)在区间(0,2)上递减;函数f(x)=x+4x,(x>0)在区间 上递增.当x= 时,y最小= .(Ⅱ)证明:函数f(x)=x+4x(x>0)在区间(0,2)递减.(Ⅲ)思考:函数f(x)=x+4x(x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?(注意:第(Ⅲ)问不必说明理由,直接写答案即可)试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
对勾函数f(x)=ax+
b
x
,(a>0,b>0)是一种常见的基本初等函数,为了研究对勾函数f(x)=x+
4
x
的一些性质,例如单调性,奇偶性,最值等性质.首先通过列表法,列举了函数f(x)=x+
4
x
在(0,+∞)上部分自变量与函数值的对应值表,如下:
x
…
0.5
1
1.5
1.7
1.9
2
2.1
2.2
2.3
3
4
5
7
…
y
…
8.5
5
4.17
4.05
4.005
4
4.005
4.002
4.04
4.3
5
4.8
7.57
…
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
(Ⅰ)函数f(x)=x+
4
x
,(x>0)在区间(0,2)上递减;函数f(x)=x+
4
x
,(x>0)在区间
上递增.当x=
时,y
最小
=
.
(Ⅱ)证明:函数f(x)=x+
4
x
(x>0)在区间(0,2)递减.
(Ⅲ)思考:函数f(x)=x+
4
x
(x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?(注意:第(Ⅲ)问不必说明理由,直接写答案即可)
试题解答
(4,+∞):2:4
解:(Ⅰ)由图表中数据可知函数f(x)=x+
4
x
,(x>0)在区间(4,+∞)上递增.当x=2时,y
最小
=4.
(Ⅱ)证明:函数f(x)=x+
4
x
(x>0)在区间(0,2)递减.
设0<x
1
<x
2
<2,则f(x
1
)-f(x
2
)=x
1
+
4
x
1
-x
2
-
4
x
2
=(x
1
-x
2
)?
x
1
x
2
-4
x
1
x
2
,
∵0<x
1
<x
2
<2,
∴0<x
1
x
2
<4,x
1
-x
2
<0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)=(x
1
-x
2
)?
x
1
x
2
-4
x
1
x
2
>0,
∴f(x
1
)>f(x
2
),
即函数f(x)=x+
4
x
(x>0)在区间(0,2)递减.
(Ⅲ)∵f(x)=x+
4
x
,
∴f(-x)=-x-
4
x
=-(x+
4
x
)=-f(x),
即函数f(x)是奇函数,
根据函数奇偶性的性质可知,当x<0时,函数有最大值,为f(-2)=-f(2)=-4.
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