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设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x≠0时,xf(x)<0,f(1)=-2(1)求证:f(x)是奇函数;(2)试问:在-2≤x≤2时,f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.(3)解关于x的不等式12f(bx)-f(x)>12f(b2x)-f(b).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x≠0时,xf(x)<0,f(1)=-2
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)试问:在-2≤x≤2时,f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.
(3)解关于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)>
1
2
f(b
2
x)-f(b).
试题解答
见解析
解:(1)由于函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),设x=y=0可求得f(0)=0.
设y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)由xf(x)<0,可得当x>0时,f(x)<0.
任取x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
>0,根据 f(x
2
)=f[(x
2
-x
1
)+x
1
]=f(x
2
-x
1
)+f(x
1
),可得f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
-x
1
)<0,
所以f(x)为减函数.
故在-2≤x≤2时,函数最大值为f(-2),最小值为f(2),且f(-2)=-2f(1)=4,f(2)=f(1)=-4,
所以函数最大值为4,函数最小值为-4.
(3)由题设可知
1
2
f(bx)+f(b)>
1
2
f(b
2
x)+f(x),即
1
2
f(bx)+
1
2
f(b)+
1
2
f(b)>
1
2
f(b
2
x)+
1
2
f(x)+
1
2
f(x),
可化为
1
2
f(bx+b+b)>
1
2
f(b
2
x+x+x),即f(bx+b+b)>f(b
2
x+x+x).
∵f(x)在R上为减函数,∴bx+b+b<b
2
x+x+x,(b
2
-b+2)x>2b,又 b
2
-b+2>0,∴x>
2b
(b
2
-b+2)
,
故不等式的解集为{x|x>
2b
(b
2
-b+2)
}.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
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集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
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正整数指数函数
第4章 函数应用
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