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  • 已知函数f（x）=x+1x．（1）求证在[1，+∞）是增函数．（2）求证函数是奇函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      1
      x
      ．
      （1）求证在[1，+∞）是增函数．
      （2）求证函数是奇函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=x1+
      1
      x1
      -（x2+
      1
      x2
      ）
      =x      1-x2+
      1
      x1
      -
      1
      x2
      =x1-x2+
      x2-x1
      x1x2

      =（x      1-x2）（1-
      1
      x1x2
      ）=（x1-x2）
      x1x2-1
      x1x2
      ，
      ∵x      1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0，
      ∴（x      1-x2）
      x1x2-1
      x1x2
      ＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）=x+
      1
      x
      在[1，+∞）是增函数；
      （2）∵f（x）=x+
      1
      x
      的定义域为{x|x≠0}，
      ∴f（-x）=-x-
      1
      x
      =-（x+
      1
      x
      ）=-f（x）
      ∴函数f（x）=x+
      1
      x
      是奇函数
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