见解析
解:(I)h(x)是奇函数.-------(1分)
理由如下:由题意得,h(x)的定义域为R,关于原点对称.---------(2分)
h(-x)=f(-x)-g(-x)=a1+(-x)-a1-(-x)=a1-x-a1+x=-(a1+x-a1-x)=-h(x),
所以,h(x)是奇函数.---------(4分)
( II)由f(3)=16,得a3+1=16,a=2,---------(5分)
所以,h(x)=21+x-21-x>0,21+x>21-x,1+x>1-x,
解得:x>0.---------(7分)
所以,使h(x)>0成立的x的集合为{x|x>0}.--------(8分)