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设函数f(x)=a-22x+1，（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f(x)=a-

2

2^x+1

，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）的定义域为R，设 x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=a-

2

2^x₁+1

-a+

2

2^x₂+1

=

2?(2^x₁-2^x₂)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，(1+2^x₁)(1+2^x₂)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2^-x+1

=-a+

2

2^x+1

，
解得：a=1．∴f(x)=1-

2

2^x+1

．
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2^x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2^x+1

＜0，∴-1＜f(x)＜1
所以f（x）的值域为（-1，1）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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