已知函数f（x）=2x-12x+1，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求证函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

2^x-1

2^x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求证函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．

见解析

解：由题意知：
（1）f（x）是奇函数．
证明：∵对?x∈R
有f(-x)=

2^-x-1

2^-x+1

(2^-x-1)2^x

(2^-x+1)2^x

1-2^x

1+2^x

=-f(x)
∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数
（2）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂
则f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁-1

2^x₁+1

2^x₂-1

2^x₂+1

(2^x₁-1)(2^x₂+1)-(2^x₁+1)(2^x₂-1)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵x₁＜x₂且f（x）=2^x为增函数，
∴2^x₁ ＜2^x₂
又∵(2^x₁+1)＞0；(2^x₂+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
故：函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．

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