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设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:存在4个函数f
i
(x)(i=1,2,3,4)满足:
(1)对i=1,2,3,4,f
i
(x)是偶函数,且对任意的实数x,有f
i
(x+π)=f
i
(x);
(2)对任意的实数x,有f(x)=f
1
(x)+f
2
(x)cosx+f
3
(x)sinx+f
4
(x)sin2x.
试题解答
见解析
证明:记g(x)=
f(x)+f(-x)
2
,h(x)=
f(x)-f(-x)
2
,则f(x)=g(x)+h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的x∈R,g(x+2π)=g(x),h(x+2π)=h(x).
令
f
1
(x)=
g(x)+g(x+π)
2
,
f
2
(x)=
{
g(x)-g(x+π)
2cosx
x≠kπ+
π
2
0x=kπ+
π
2
,
f
3
(x)=
{
h(x)-h(x+π)
2sinx
x≠kπ
0x=kπ
,
f
4
(x)=
{
h(x)+h(x+π)
2sin2x
x≠
kπ
2
0x=
kπ
2
,其中k为任意整数.
则f
i
(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈R,f
i
(x+π)=f
i
(x),i=1,2,3,4.
下证对任意的x∈R,有f
1
(x)+f
2
(x)cosx=g(x).
当x≠kπ+
π
2
(k∈Z)时,显然成立;
当x=kπ+
π
2
(k∈Z)时,因为
f
1
(x)+f
2
(x)cosx=f
1
(x)=
g(x)+g(x+π)
2
,
而g(x+π)=g(kπ+
3π
2
)=g(kπ+
3π
2
-2(k+1)π)=g(-kπ-
π
2
)=g(kπ+
π
2
)=g(x),故对任意的x∈R,f
1
(x)+f
2
(x)cosx=g(x).
下证对任意的x∈R,有f
3
(x)sinx+f
4
(x)sin2x=h(x).
当x≠
kπ
2
(k∈Z)时,显然成立;
当x=kπ(k∈Z)时,h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ),所以h(x)=h(kπ)=0,而此时f
3
(x)sinx+f
4
(x)sin2x=0,故h(x)=f
3
(x)sinx+f
4
(x)sin2x;
当x=kπ+
π
2
(k∈Z)时,h(x+π)=h(kπ+
3π
2
)=h(kπ+
3π
2
-2(k+1)π)=h(-kπ-
π
2
)=-h(kπ+
π
2
)=-h(x),
故
f
3
(x)sinx=
h(x)-h(x+π)
2
=h(x),
又f
4
(x)sin2x=0,从而有h(x)=f
3
(x)sinx+f
4
(x)sin2x.
于是,对任意的x∈R,有f
3
(x)sinx+f
4
(x)sin2x=h(x).
综上所述,结论得证.
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