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  • 已知实数a＞0，函数f(x)=√1-x21+x2+a√1+x21-x2．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间[-2√55，2√55]上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知实数a＞0，函数f(x)=
      √
      1-x2
      1+x2
      +a
      √
      1+x2
      1-x2
      ．
      （1）当a=1时，求f（x）的最小值；
      （2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；
      （3）求实数a的范围，使得对于区间[-
      2
      √5
      5
      ，
      2
      √5
      5
      ]上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．

      试题解答

      见解析
      解：由题意，f（x）的定义???为（-1，1），且f（x）为偶函数．
      （1）a=1时，f(x)=
      √
      1-x2
      1+x2
      +
      √
      1+x2
      1-x2
      =
      2
      √1-x4
      …（2分）
      ∴x=0时，f(x)=
      √
      1-x2
      1+x2
      +
      √
      1+x2
      1-x2
      最小值为2．…（4分）
      （2）a=1时，f(x)=
      √
      1-x2
      1+x2
      +
      √
      1+x2
      1-x2
      =
      2
      √1-x4

      ∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减； …（6分）
      由于f（x）为偶函数，
      ∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．
      设0≤x      1＜x2＜1，
      ∴
      √1-x
      4
      1
      ＞
      √1-x
      4
      2
      ＞0，得
      1
      √1-x
      4
      1
      ＜
      1
      √1-x
      4
      2
      f(x1)-f(x2)=
      1
      √1-x
      4
      1
      -
      1
      √1-x
      4
      2
      ＜0
      ∴x∈[0，1）时，f（x）递增； …（10分）
      （3）设t=
      √
      1-x2
      1+x2
      ，则
      ∵x∈[-
      2
      √5
      5
      ，
      2
      √5
      5
      ]，
      ∴t∈[
      1
      3
      ，1]，∴y=t+
      a
      t
      (
      1
      3
      ≤t≤1)
      从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间[
      1
      3
      ，1]上，恒有2ymin＞ymax．…（11分）
      ①当0＜a≤
      1
      9
      时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，1]上单调递增，∴ymin=3a+
      1
      3
      ，ymax=a+1，由2ymin＞ymax得a＞
      1
      15
      ，
      从而
      1
      15
      ＜a≤
      1
      9
      ； …（12分）
      ②当
      1
      9
      ＜a≤
      1
      3
      时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，
      √a
      ]上单调递减，在[
      √a
      ，1]上单调递增，∴ymin=2
      √a
      ，ymax=max{3a+
      1
      3
      ，a+1}=a+1，
      由2y      min＞ymax得7-4
      √3
      ＜a＜7+4
      √3
      ，从而
      1
      9
      ＜a≤
      1
      3
      ；…（13分）
      ③当
      1
      3
      ＜a＜1时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，
      √a
      ]上单调递减，在[
      √a
      ，1]上单调递增，∴ymin=2
      √a
      ，ymax=max{3a+
      1
      3
      ，a+1}=3a+
      1
      3
      ，
      由2y      min＞ymax得
      7-4
      √3
      9
      ＜a＜
      7+4
      √3
      9
      ，从而
      1
      3
      ＜a＜1； …（14分）
      ④当a≥1时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，1]上单调递减，∴ymin=a+1，ymax=3a+
      1
      3
      ，
      由2y      min＞ymax得a＜
      5
      3
      ，从而1≤a＜
      5
      3
      ；…（15分）
      综上，
      1
      15
      ＜a＜
      5
      3
      ．…（16分）
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