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  • 设a是实数，f(x)=a-21+2x(x∈R)（1）已知函数f(x)=a-21+2x(x∈R)是奇函数，求实数a的值．（2）试证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a是实数，f(x)=a-
      2
      1+2x
      (x∈R)
      （1）已知函数f(x)=a-
      2
      1+2x
      (x∈R)是奇函数，求实数a的值．
      （2）试证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得x∈R，函数为奇函数必有f（0）=0
      代入数据可得a-
      2
      1+20
      =0，解得a=1
      （2）证明：设x      1，x2∈R，x1＜x2，
      作差可得f(x      1)-f(x2)=(a-
      2
      2x1+1
      )-(a-
      2
      2x2+1
      )
      =
      2
      2x2+1
      -
      2
      2x1+1
      =
      2(2x1-2x2)
      (2x1+1)(2x2+1)
      ，
      由于指数函数y=2      x在R上是增函数，且x1＜x2，
      ∴      2x1＜2x2，
      即      2x1-2x2＜0，
      又由2      x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      ∴对于任意a，f（x）在R上为增函数．
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