设函数f(x)=log4(4x+1)+ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f(x)=log₄(4^x+1)+ax（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（x）=f（-x）恒成立，
则log₄(4^x+1)+ax=log₄(4^-x+1)-ax，
∴2ax=log₄

4^-x+1

4^x+1

=log₄

4^x

=-x，
∴（2a+1）x=0恒成立，则2a+1=0，故a=-

．
（Ⅱ）f(x)+f(-x)=log₄(4^x+1)+ax+log₄(4^-x+1)-ax=log₄(4^x+1)+log₄(4^-x+1)
=log₄(4^x+1)(4^-x+1)=log₄(2+4^x+4^-x)≥log₄(2+2

√4^x×4^-x

)=1．
当且仅当x=0时取等号，
∴mt+m≤1对任意t∈[-2，1]恒成立，
令h（t）=mt+m，
由

{	h(-2)=-2m+m≤1 h(1)=m+m≤1

，解得-1≤m≤

，
故实数m的取值范围是[-1，

]．

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