已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f(x)=

-2^x+a

2^x+1

是奇函数．
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）由题设，需f(0)=

-1+a

=0，
∴a=1，∴f(x)=

1-2^x

1+2^x

，
经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．
（2）f（x）在定义域R上是减函数．
证明：任取 x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
f(x₂)-f(x₁)=

1-2^x₂

1+2^x₂

1-2^x₁

1+2^x₁

2(2^x₁-2^x₂)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁＜2^x₂，2^x₁-2^x₂＜0，(1+2^x₁)(1+2^x₂)＞0，
∴f（ x₂）-f（ x₁）＜0，即f（ x₂）＜f（ x₁），
∴该函数在定义域R上是减函数．
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数，∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知，f（x???是减函数，∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

，
所以实数k的取值范围是：k＜-

．

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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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