已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b；（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．（3）讨论函数的零点个数？（提示：）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）讨论函数

的零点个数？（提示：

）

见解析

（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…（2分）
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx所以

…（4分）
依题意，

或

在（0，1）上恒成立…（6分）
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由

在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由

在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…（9分）
（3）

，令

．
所以

…（10分）
令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：
x（-∞，-1）-1（-1，0）（0，1）1（1，+∞）y'+-+-h（x）单调递增极大值

单调递减极小值1单调递增极大值

单调递减所以当

时，函数无零点；
当k＜1或

时，函数有两个零点；当k=1时，函数有三个零点．当

时，函数有四个零点．…（16分）

标签