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  • 已知定义???R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-23．（1）求证f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）为R上的减函数；（3）解关于x的不等式：12f(2bx)-f(x)＞12f(bx)-f(b)．（其中b＞2）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义???R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-
      2
      3
      ．
      （1）求证f（x）为奇函数；
      （2）求证：f（x）为R上的减函数；
      （3）解关于x的不等式：
      1
      2
      f(2bx)-f(x)＞
      1
      2
      f(bx)-f(b)．（其中b＞2）

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意，在f（x）+f（y）=f（x+y）中令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0
      再令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0）=0
      所以函数是奇函数
      （2）令x      1＜x2，则x2=x1+x2-x1，x2-x1＞0
      所以f（x      1）+f（x2-x1）=f（x2），
      又x＞0时，f（x）＜0
      所以f（x      2-x1）＜0
      所以f（x      1）＞f（x2），即f（x）为R上的减函数
      （3）不等式
      1
      2
      f(2bx)-f(x)＞
      1
      2
      f(bx)-f(b)?f(bx)+f(b)＞f(
      1
      2
      bx)+f(x)?f(bx+b)＞f(
      1
      2
      bx+x)
      又f（x）为R上的减函数
      所以bx+b＜
      1
      2
      bx+x，整理得（b-2）x＜-2b，又b＞2，即b-2＞0
      解得x＜
      -2b
      b-2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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