已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]?D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；（3）若y=k+√x(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]?D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x²（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+

√x

(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）函数f（x）在区间(-∞，

]上单调递减，在(

，+∞)上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x³符合条件①：对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
有y₁-y₂=x₂³-x₁³=(x₂-x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²)=(x₂-x₁)[(x₂+

x₁)²+

x₁²]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的减函数．
又因为y=-x³在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知y=k+

√x

是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有

{	a=k+ √a b=k+ √b

；
故a，b是x=k+

√x

的两个不等根，即方程组为：

{	x²-(2k+1)x+k²=0 x≥0 x≥k

有两个不等非负实根；
设x₁，x₂为方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，则

{	△=(2k+1)²-4k²＞0 x₁+x₂=2k+1＞0 x₁x₂=k²≥0 k＜0

，
解得：-

＜k＜0
∴k的取值范围(-

，0)．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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