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  • 已知函数f(x)=√px-p-lnx(p＞0)．（1）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）当n∈N*时，证明nΣk=1√2k+1k＞2ln（n+1）；（3）（理） 当n≥2且n∈N+时，证明：nΣk=21lnk＞lnn．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      √px-p
      -lnx(p＞0)．
      （1）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数p的取值范围；
      （2）当n∈N      *时，证明nΣk=1
      √2k+1
      k
      ＞2ln（n+1）；
      （3）（理） 当n≥2且n∈N      +时，证明：nΣk=2
      1
      lnk
      ＞lnn．

      试题解答

      见解析
      （1）解：p＞0，函数f（x）的定义域为[1，+∞）．
      f′（x）=
      p
      2
      √px-p
      -
      1
      x

      依题意，f′（x）≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
      ∴p≥
      4(x-1)
      x2
      在x∈（1，+∞）恒成立．
      ∵
      4(x-1)
      x2
      =4[-（
      1
      x
      -
      1
      2
      ）2+
      1
      4
      ]≤1，
      ∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）；
      （2）证明：当n∈N      *时，欲证nΣk=1
      √2k+1
      k
      ＞2ln（n+1），只需证
      √2k+1
      k
      ＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N*）．
      由（Ⅰ）可知：取p=1，则f（x）≥f（1）（x≥1），
      而f（1）=0，∴
      √x-1
      ≥lnx（当x=1时，等号成立）．
      用（
      x+1
      x
      ）2代换x，得
      √(
      x+1
      x
      )2-1
      ＞ln（
      x+1
      x
      ）2（x＞0），
      即
      √2x+1
      x
      ＞2[ln（x+1）-lnx]（x＞0），
      ∴
      √2k+1
      k
      ＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N*）．
      在上式中分别取k=1，2，3，…，n，并将同向不等式相加，得      nΣk=1
      √2k+1
      k
      ＞2ln（n+1），
      ∴结论成立；
      （3）解：由（2）知，
      √x-1
      ≥lnx（当x=1时，等号成立）．
      而当x≥2时，x-1≥
      √x-1
      ，∴当x≥2时，x-1＞lnx
      设g（x）=x-1-lnx，x∈（0，2），则g′（x）=1-
      1
      x
      =
      x-1
      x
      ，
      ∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，2）上递增，
      ∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在x∈（0，2）时恒成立．
      故当x∈（0，+∞）时，x-1≥lnx（当且仅当x=1时，等号成立）．…①
      用x代换x-1得：x≥ln（1+x）（当且仅当x=0时，等号成立）．…②
      当k≥2，k∈N      *时，由①得k-1＞lnk＞0，∴
      1
      lnk
      ＞
      1
      k-1

      当k≥2，k∈N      *时，由②得k＞ln（1+k），用
      1
      k-1
      代换k，得
      1
      k-1
      ＞ln（1+
      1
      k-1
      ）．
      ∴当k≥2，k∈N      *时，
      1
      lnk
      ＞ln（1+
      1
      k-1
      ），即
      1
      lnk
      ＞lnk-ln（k-1）．
      在上式中分别取k=2，3，4，…，n，并将同向不等式相加，得      nΣk=2
      1
      lnk
      ＞lnn-ln1．
      故当n≥2且n∈N      *时，nΣk=2
      1
      lnk
      ＞lnn．
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