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对于函数f（x）=a-2?2x2x+1（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并证明；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于函数f（x）=a-

2?2^x

2^x+1

（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并证明；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数，并证明你的结论．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）f（x）在R上单调递减，
证明如下：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2?2^x₂

2^x₂+1

-

2?2^x₁

2^x₁+1

=

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₂+1)(2^x₁+1)

．
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁＜2^x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上单调递减．
（Ⅱ）解：a=1时，f（x）为奇函数．
证明如下：f（x）=1-

2?2^x

2^x+1

=

1-2^x

2^x+1

，
定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）=

1-2^-x

2^-x+1

=

2^x-1

2^x+1

=-f（x），
故存在a=1时，f（x）为奇函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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