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  • 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m-1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．
      （1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式；
      （2）若函数f（x）为单调递减函数；
      ①直接写出a的范围（不必证明）；
      ②若对任意实数m，f（m-1）+f（m      2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数，
      所以f（x）=-f（-x）=-（-x      2+2x）=x2-2x，
      所以f（x）=
      {
      -x2-2x，x≥0
      x2-2x，x＜0
      ．
      （2）①当a≤0时，对称轴x=
      a
      2
      ≤0，所以f（x）=-x2+ax在[0，+∞）上单调递减，
      由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
      所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
      当a＞0时，f（x）在（0，
      a
      2
      ）递增，在（
      a
      2
      ，+∞）上递减，不合题意，
      所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
      ②f（m-1）+f（m      2+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m2+t），
      又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m      2），
      又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m      2恒成立，
      所以t＞-m      2-m+1=-(m+
      1
      2
      )2+
      5
      4
      恒成立，所以t＞
      5
      4
      ．
      即实数t的范围为：（
      5
      4
      ，+∞）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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