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  • 已知函数f（x）=（a-1）ln（ex+a2-a-2）（a为常数）是实数集R上的增函数，对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=0，函数，函数g（x）=ln[f（x）+1]．（1）求实数a的值；（2）若对任意的x＞0，g（x）＜px恒成立，求实数p的取值范围；（3）求证：当n∈N*时，g（n）＜1+12+13+…+1n．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=（a-1）ln（ex+a2-a-2）（a为常数）是实数集R上的增函数，对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=0，函数，函数g（x）=ln[f（x）+1]．
      （1）求实数a的值；
      （2）若对任意的x＞0，g（x）＜px恒成立，求实数p的取值范围；
      （3）求证：当n∈N      *时，g（n）＜1+
      1
      2
      +
      1
      3
      +…+
      1
      n
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）对任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0，
      ∴f（x）是R上的奇函数，
      ∴f（0）=（a-1）ln（1+a      2-a-2）=0
      即a2-a-2=0或a-1=0
      ∴a=-1或a=2或a=1，
      ∵f（x）是实数集R上的增函数，
      ∴a=2．
      （2）由（1）知f（x）=x，函数g（x）=ln[f（x）+1]=ln（x+1），
      设h（x）=g（x）-px=ln（x+1）-px（x＞0），
      则g（x）＜px恒成立?h（x）＜0恒成立，
      又h′（x）=
      1
      x+1
      -p（x＞0）
      ①若p≥1，则h′（x）=
      1
      x+1
      -p＜ 0，h（x）在（0，+∞）上是减函数，
      因此h（x）＜h（0）=0恒成立，
      ②若p∈（0，1），则令h′（x）=0，解得x=
      1-p
      p
      ，
      当x∈（0，
      1-p
      p
      ）是，h（x）＞0，h（x）单调递增，不成立
      故实数p的取值范围[1，+∞）
      （3）证明：由第（2）小题可知，
      当p=1时，ln（x+1）＜x（x＞0）恒成立，
      故当x＞0，ln（
      1
      x
      +1）＜
      1
      x
      也恒成立，
      ∴ln2＜1，ln
      3
      2
      ＜
      1
      2
      ，ln
      4
      3
      ＜
      1
      3
      ，，ln
      n+1
      n
      ＜
      1
      n

      将各不等式相加得
      ln
      2
      1
      +ln
      3
      2
      +ln
      4
      3
      +…+ln
      n
      n-1
      +ln
      n+1
      n
      ＜1+
      1
      2
      +
      1
      3
      +…+
      1
      n

      故g（n）＜1+
      1
      2
      +
      1
      3
      ++
      1
      n
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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