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已知f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2ex.(1)当x<0时,求f(x)的解析式;(2)当m>0时,比较f(m-1)与f(3-m)的大小;(3)求最小的整数m(m>1),使得存在实数t,对任意的x∈[1,m],都有f(x+t)≤2ex.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2e
x
.
(1)当x<0时,求f(x)的解析式;
(2)当m>0时,比较f(m-1)与f(3-m)的大小;
(3)求最小的整数m(m>1),使得存在实数t,对任意的x∈[1,m],都有f(x+t)≤2ex.
试题解答
见解析
解:(1)当x<0时,-x>0,∵当x≥0时,f(x)=2e
x
,
∴f(-x)=2e
-x
,
因为f(x)为偶函数,所以f(x)=2e
-x
,(3分)
(2)因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以
①当m>2时,|m-1|>|3-m|≥0,所以f(m-1)>f(3-m);
②当m=2时,|m-1|=|3-m|,所以f(m-1)=f(3-m);
③当0<m<2时,0≤|m-1|<|3-m|,所以f(m-1)<f(3-m); (9分)
(3)由f(x+t)≤2ex得2e
|x+t|
≤2ex
∴|x+t|≤lnx+1
∴-x-lnx-1≤t≤-x+lnx+1在[1,m]上恒成立
设g(x)=-x+lnx+1,则g′(x)=
1-x
x
,因为x∈[1,m],所以g′(x)≤0,所以函数g(x)在[1,m]上单调减,
所以g(x)
min
=g(m)=-m+lnm+1,
设h(x)=-x-lnx-1,则h(x)在[1,m]上单调减,所以h(x)
max
=h(1)=-2,
故-2≤t≤-m+lnm+1,
要此不等式有解必有-m+lnm+1≥-2,又m>1,所以m=2满足要求,
故所求的最小正整数m为2.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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二分法求方程的近似解
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函数的零点
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函数零点的判定定理
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